Goldener Winkel

Goldwinkel

Viele Beispiele für übersetzte Sätze mit "goldener Winkel" - Englisch-Deutsches Wörterbuch und Suchmaschine für englische Übersetzungen. Die Gesamtlänge eines Schnittes im Verhältnis zur Länge der beiden Abschnitte wird durch den Goldenen Schnitt beschrieben. Sie finden hier Mietwohnungen im Goldenen Winkel, Hannover von lokalen Anbietern sortiert nach Preis und Aktualität. Die Gammastraße ?, ?

Golden Section Division Ratio des Goldenen Schnitts. Der Goldene Winkel befindet sich in Gehrden (Niedersachsen).

mw-headline" id="Definition_und_elementare_Eigenschaften">Definition und elementaren Eigenschaften[Bearbeiten> | /span>Sourcecode bearbeiten]>

Anteile im Goldschnitt eines Schnittes: Der Goldschnitt (lateinisch: sektio Aurea, Proportion Divina) ist das Divisionsverhältnis eines Abschnittes oder einer anderen Grösse, in dem das Verhältniss des Ganzen zu seinem grösseren Teil (auch Dur genannt) dem Verhältniss des grösseren zu dem kleinen Teil (dem Moll) gleichkommt. In Form einer Gleichung formuliert (mit a- und b-Anzeigestil b-Moll): Das Divisionsverhältnis des Goldschnittes, berechnet durch Teilen dieser Grössen als Anzahl, ist eine unvernünftige Anzahl, d.h. eine Anzahl, die nicht als Bruchteil von ganzen Zahlen wiedergegeben wird.

Sie wird auch als Goldener Schnitte oder Goldener Schnitte genannt. Das Griechisch Philipp (?{displaystyle uhpi }, ?{displaystyle uhphi uhhi } oder ?{displaystyle \varphi }), eher selten Taut (T{displaystyle \mathrm {T} {T}, ?{style uhtau }) oder gar nicht: \displaystyle \tau }) wird als mathematische Ikone für diese Nummer verwendet: Das Wissen um den Goldschnitt ist in der Mathematik seit der antiken Zeit ("Euklid von Alexandria") belegt.

Kontrovers ist jedoch die Überprüfbarkeit einer solchen speziellen Ästhetik in der Wissenschaft, ebenso wie die geschichtliche Fragestellung, ob der Goldschnitt auch bei der Verhältnismäßigkeit von Werken und Bauten aus älteren Zeiten eine wichtige Rolle spielt. Die Beziehung des Goldschnittes ist nicht nur in der Wissenschaft, sondern auch in der freien Wildbahn wichtig, z.B. in der Blatt- und Blütenstandsanordnung einiger Gewächse.

Bei der goldenen Ziffer handelt es sich um eine unvernünftige Ziffer, d.h. sie kann nicht als Bruchteil von zwei ganzen Ziffern dargestellt werden. Es handelt sich jedoch um eine mathematische Nummer der Klasse 2, vor allem kann sie mit einem Kompass und einem Herrscher aufgebaut werden. 1 ] Aus diesem Grunde wird sie in der Fachliteratur manchmal als die unvernünftigste Nummer genannt.

3 ] Diese Eigenschaften werden im Kapitel Näherungseigenschaften der Goldnummer näher erörtert. Euklids Postulat besagt, dass nur solche Methoden als Konstruktionsmethoden anerkannt werden, die auf die Benutzung von Kompassen und Linealen (ohne Maßstab) beschränkt sind. Zur Einteilung eines Schnitts im Verhältniss des Goldschnittes gibt es eine Vielzahl solcher Prozeduren, von denen im Nachfolgenden nur einige wenige als Beispiele genannt werden.

Im Falle der Außenteilung wird der außerhalb der Erweiterung des Anfangsabschnitts befindliche Ort durchsucht, wodurch der bestehende Abschnitt zum (größeren) Teil des Goldabschnitts wird. Ein Sonderfall der Obertonteilung ist der Goldschnitt. Klassische Methode mit interner Unterteilung, die wegen ihrer Schlichtheit populär ist: eine halblange vertikale Linie AB mit dem Anschlag C am Ende der Linie AB aufstellen.

Die Kreislinie um B mit dem Umkreis AD dividiert den Abstand AB im Verhältniss zum Gelb. Euklid interne Teilung: Das Resultat der benachbarten Animationen ergibt, dass die Zeile AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}} in den sogenannten Goldverhältnis mit interner Aufteilung unterteilt ist. Auf der Linie AB, am Ort des Geschehens steht ein halblanges Lot von AB mit dem Zielpunkt C.

Die Kreislinie um B mit dem Umkreis AD dividiert den Abstand AB im Verhältniss zum Gelb. Halbieren Sie den Abstand AB in mm durch Abstandssymmetrien mit AB und konstruieren Sie ein gleichschenkliges ABC mit der Schenkellänge AB und C unter AB. Auf der Route wird die Route AB im VerhÃ?ltnis zum Goldschnitt geteilt.

Reguläres Pentagon und pentagram je eine Basisfigur, in der das Verhältniss des Goldverhältnisses mehrfach vorkommt. Beispielsweise steht die Fläche eines normalen Pentagons im Goldschnitt zu seinen Schrägen. Auch die Diagonale teilt den Goldanteil, d.h. AD¯{\displaystyle {\overline {AD}}}} benimmt sich zu BD¯{\displaystyle {\overline {BD}}} wie BD¯{\displaystyle {\overline {}}} zu CD¯ {\displaystyle {\overline {}}}.

Besonders eng verwandt mit dem Goldschnitt ist das Pentakel, eines der längsten kulturgeschichtlichen Wunder. Für jede Route und jeden Abschnitt im Fünfeck gibt es einen Ansprechpartner, der im Vergleich zum Golddurchschnitt steht. Im Bild sind alle drei Entfernungspaare in den Farben grün (längere Distanz) und gelb (kürzere Distanz) gekennzeichnet.

Diese können mit der oben beschriebenen kontinuierlichen Teilungsmethode hintereinander erzeugt werden. Wenn die beiden Abstände in einem ganzzahligen VerhÃ?ltnis wÃ?ren, mÃ?sste diese Methode der kontinuierlichen Abzug an einem bestimmten Punkt zu Null fÃ?hren und damit enden. Um zu beweisen, dass dies der Goldene Schnitt ist, beachten Sie, dass zusätzlich zu den vielen Tracks der gleichen Länge aus Gründen der Symmetrie, CD¯=CC?¯{\displaystyle {\overline {\mathrm {CD}

Der Grund ist, dass das Triangel DCC {\displaystyle DCC^ } zwei gleich große Winkel hat, wie man an der parallelen Verschiebung der Linie CC?{displaystyle CC^{\prime }}, und daher ist. und die Gleichwertigkeit der erscheinenden Abschnitte respektiert wird, erhält man exakt die oben genannte Definitions-Gleichung für den Goldschnitt. Als Goldrechteck wird ein Viereck bezeichnet, dessen Aspektverhältnis dem Goldschnitt entsprechen, und auch ein Gleichschenkeldreieck, in dem sich zwei Flächen in diesem Größenverhältnis befinden, korrespondiert mit dem Goldschnitt.

Den Goldwinkel erhält man, wenn man den vollen Winkel in den Goldschnitt teilt. Daraus ergibt sich der tote Winkel 2?,88???,5?. Ungefähr 3, 88, ungefähr 222, 5. Normalerweise jedoch wird sein Zusatz zu einem vollen Winkel, 2?-2?,40?,5?{\displaystyle 2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi } {\Phi }} 2{,}40\approx 137{,}5^{\circ }} der Golden Corner genannt. Das wird dadurch begründet, dass Rotationen um 2?{\displaystyle \pm 2\pi} keinerlei Bedeutung haben und das Zeichen nur die Drehrichtung des Blickwinkels angibt.

Wiederholtes Drehen um den Goldwinkel erzeugt immer wieder neue Stellen, z.B. für die Blattverlängerungen im Raster. Genau wie bei jeder unvernünftigen Nummer wird es nie zu genauen Überschneidungen kommen. Da es sich bei der Goldnummer um die "irrationalste" Nummer im Sinne der folgenden Beschreibung handelt, wird die Überlappung der Blättchen, die die Fotosynthese erschwert, insgesamt auf ein Minimum reduziert.

Markieren wir den Schnitt mit dem Winkel 2??k{\displaystyle {\ {\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}} wk{displaystyle w_{k}}, so bekommen wir sukzessive kreisförmige Aufrisse w0, Die zwölf Eckpunkte eines Isosaeders formen die Eckpunkte von drei gleich großen, vertikal gestapelten Vierecken mit einem gemeinsamen Zentrum und den Bildformatverhältnissen des Goldschnittes. Dieses Arrangement der drei Vierecke wird auch als Golden Cut Chair bezeichnet.

Da sich das Piktogramm mit dem des Pentagons deckt, sind die zwölf Zentren der Pentagone auch die Eckpunkte eines goldenen Stuhls. und mit ab=?{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\Phi } wie folgt: Nachdem das Los auf der Route AS¯{\displaystyle {\overline {AS}}} in S{\displaystyle S} festgelegt wurde, wird die Route AS¯{\displaystyle {AS}}} vom Ort S{\displaystyle S}, der Kreuzungspunkt C.{\displaystyle C.} entfernt.

zeigt den kleinen b{\displaystyle b} als Route SB¯{\displaystyle {\overline {SB}}} und gibt den numerischen Wert 12+52{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {5}}{2}} zurück. So können auch sehr unterschiedliche Dimensionen, wie z.B. Fenster- und Raumbreiten, durch den Goldschnitt in Beziehung gesetzt und ganze Reihen von harmonischen Dimensionen erzeugt werden. Die endlose Folge von Fibonaccizahlen ist eng mit dem Goldverhältnis verbunden (siehe weiter hinten die Kapitel Mittelalter und Renaissance): Dieses Argument trifft auch auf generalisierte Fibonacci-Sequenzen mit zwei möglichen Erstgliedern zu.

Generell gilt: Im oben genannten fortlaufenden Bruchteil steht vor jedem Plus-Zeichen eine ganze Zahl. 2. Mit zunehmender Größe dieser Anzahl wird der Bruchteil, in dessen Nennwert er steht, kleiner und damit auch der Irrtum, der auftritt, wenn der unendlich lange Teil vor diesem Teil abbricht. Der grösste Wert im oberen Bereich einer fortlaufenden Fraktion ist 15.

Umgekehrt ist die Näherung besonders schlecht, wenn die Anzahl vor dem Plus-Zeichen besonders gering ist. Der kleinstmögliche Wert dort ist jedoch 1. Weil die Goldnummer nur eine in ihrem fortlaufenden Bruchteil hat, kann sie (scherzhaft) als "nobelste aller Zahlen" genannt werden.

{\frac {1}{\Phi }}}=2\sin {\big (}{\tfrac {\pi }}{10}} {\big ))}=2\cos {\big ( ) {\tfrac {2\pi }{5}} {\big {\big }}. Bisweilen wird die Bedeutung des Goldschnittes für das Pentagon als vergleichsweise wichtig beschrieben wie die der Kreisnummer ? für den Zirkel. Man kann den Goldschnitt auch über die Eulersche Nummer und die hyperbolische Areasinus-Funktion ausdrücken:

Bei der geometrischen Generalisierung des Goldschnittes durch seine Mehrfachanwendung handelt es sich um die kontinuierliche Aufteilung einer Linie AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}. Die Route AB ist zunächst aufgeteilt in eine kleine Route AA?¯{\displaystyle {}}} und eine große Route A?B \style {\}}. Der Kurs A?B¯{{\displaystyle {\overline {A'B}}}} und der grössere der resultierenden Abschnitte wird nun wieder einem Goldschnitt unterworfen, bei dem der Darstellungsstil von A?B ¯{\displaystyle {A''B}}} als (neuer) grösserer Abschnitt und der von A?A? ¯{displaystyle {\overline {A'A''}}} als kleiner bleibt.

Diesen Arbeitsschritt kann man nun endlos oft wiederholen, da es aufgrund der rechnerischen Gegebenheiten des Goldschnittes trotz der progressiven Aufteilung keinen mit dem Originalpunkt A übereinstimmenden A((n){\displaystyle A^{(n)}}} gibt. Diese allgemeine Prozedur kann auch dadurch erzielt werden, dass man den Track A?¯{\displaystyle {}} in point B {\displaystyle}} nach dem Aufbau von AA?{displaystyle A'} entfernt:

Dieselbe Behauptung trifft auch auf die Ausdehnung eines bestimmten Abstandes zu, sie ergibt die aufsteigende geometrische Aufeinanderfolge. Von dieser Behauptung her trifft auch zu: Ein Viereck mit den Blättern a{\displaystyle a} und b{displaystyle b} entspricht exakt dem Goldschnitt, wenn dies auch für das Viereck mit den Blättern a+b {displaystyle a+b} und a{\displaystyle a} der Fall ist.

Das Goldene Viereck kann daher immer in ein kleines Viereck und ein Viereck unterteilt werden. Auch diese Generalisierung ist die Basis für die oben beschriebene Errichtung der (unendlichen) Goldspirale. Version nicht vor 1220), einem ausführlichen Lehrbuch zum Thema Berechnen mit indisch-arabischen Zahlen, verweist der Italiener Leonardo da Pisa, Fibonacci oder Fibonacci kurz auf die später nach ihm genannte Reihenfolge der Fibonacci, im Rahmen der sogen, Kaninchenaufgabe,

Es gibt keine weitere Untersuchung dieser Episode in seinem Werk, d.h. er stellt den Bezug zum Goldschnitt nicht dar. Gegen Ende seiner Arbeit jedoch eine algebraische Aufgabenstellung beweist, dass er mit dem (erst später so genannten) Goldeschnitt vertraut war und ihn in Euklids Überlieferung kannte,

Leonardo hat jedoch noch keine Verbindung zwischen der Fibonacci-Sequenz und dem Goldenen Abschnitt hergestellt: Die Erkenntnis, dass, wenn ein Mitglied der Fibonacci-Sequenz durch das vorangegangene Reihenmitglied geteilt wird, Johannes Kepler lange Zeit der ungefähre Wert ? {\displaystyle \Phi} zugesprochen wurde, ist in jüngster Zeit aber auch in einer handgeschriebenen Note belegt worden, mit der ein Lesegerät vermutlich aus Italien aus der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts stammt.

Der Redakteur dieser Ausgabe von Euklid, der franziskanische Luca pacioli di Borgo San Sepolcro (1445-1514), der an der Perugia University unterrichtete, hatte sich ebenfalls eingehend mit dem Goldverhältnis beschäftigt. Diese Spaltung bezeichnete er als "göttliche Spaltung" und verwies dabei auf die Identifikation von Platon mit den fünf plattonischen Körper, für deren Aufbau der Goldschnitt eine wichtige Hilfe ist.

Der Quotient aus der die Person umschließenden Fläche und dem Kreisradius - nicht das Quotient aus den Verhältnissen der Person selbst - korrespondiert in diesem bekannten Foto mit einer Differenz von 1,7 Prozent zum Goldverhältnis, die jedoch im entsprechenden Heft nicht genannt wird. Außerdem wäre diese Regelabweichung in einem Konstruktionsverfahren nicht zu befürchten.

Einer der ersten verifizierten Verwendungszwecke des Begriffs Goldener Schnitte wurde 1835 von Martin Ohm (1792-1872; Sohn von Georg Simon Ohm) in einem Mathematiklehrbuch benutzt. Blattanordnung im Bereich des Goldwinkels von oben gesehen. Die spektakulärsten Beispiele für den Goldanteil in der freien Wildbahn finden sich in der Blattgestaltung (Phyllotaxis) und in den Blütezeiten einiger Blüten.

6] Bei diesen Anlagen trennt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Flügeln den vollen Kreis von 360 im Vergleich zum Goldschnitt, wenn die beiden Blatteinschübe durch eine parallele Verschiebung eines der Flügel entlang der Blattachse zur Koinzidenz geführt werden. Er ist der Goldene Winkel von etwa 137,5°. Daraus ergibt sich ein gewisser Winkel zum Vorgängermodell.

Wenn dieser Winkel den vollen Kreis in Bezug auf eine rationale Anzahl mn{\displaystyle {\tfrac {m}{n}}} teilt, dann würde dieses Arbeitsblatt exakt in die selbe Richtung wie die vorhergehenden n{\displaystyle n}-Blätter anwachsen. Daraus ergibt sich ein Winkel mit einem Übersetzungsverhältnis, das alle rationellen Werte vermeidet. Sie ist nun die Goldnummer (siehe oben).

Pflanzenwurzeln zeigen den Goldwinkel weniger klar. Bei manchen Kakteen wird ein Winkel von 99,5° eingehalten, was der Variation der Fibonacci-Sequenz 1, 2, 5, 3, 5, 6, 4, 6, 8, 11,.... entspricht. Falls nm {\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} grösser ist als ? {\displaystyle \Phi }, ist das Verhältniss der beiden folgenden Fibonacci Zahlen kleiner und vice versa.

Berechnete Blütenstände mit 1000 Blüten im Goldwinkel - 13, 22, 34 und 55 Schnecken. Sehr eindrucksvoll sind die Schnecken von Fibonacci (die somit wieder dem Goldschnitt zugewiesen werden) in der Blütezeit, wie bei den Blümchen. In der Außenfläche der Sonnenblume werden 34 und 55 Windungen mitgezählt, bei grösseren Proben 55 und 89 oder gar 89 und 144. Die Abweichungen vom rechnerischen Goldwinkel, der in diesem Falle nicht grösser ist, betragen weniger als 0,01 vH.

Außerdem wird der Goldschnitt auch in Bezug auf die Länge der aufeinanderfolgenden Stammabschnitte einiger Arten, wie bei der Population, angenommen. Die Blattäxte a und b (siehe Abbildung) liegen auch im Blatt des Efeublattes etwa im Verhältniss zum Gelb. Es wird das Höhen-/Breitenverhältnis und der zugehörige Zahlenwert angegeben: ??: 10 - Das Formatsystem für das DIN A4-Blatt und die zugehörigen DIN/EN/ISO-Abmessungen.

Das Halbieren eines Abschnitts, der die langen Kanten des Rechteckes um die Hälfte verkleinert, ergibt ein Rechteck mit dem gleichen Bildformat. Mit 1,6: 1 entsprechen diese nahezu dem Goldstandard. --?? ---??: 10 - Goldener Schnittspalt. Bei den beiden angrenzenden Rechtecken 3:2 und 5:3 ist das Bildformat der aufeinanderfolgenden Zahlen Fibonacci relativ gut.

?? : 30 - Wird unter anderem als Filmformat verwendet. Erste Anhaltspunkte für die Nutzung des Goldschnittes kommen aus der Baukunst. Der griechische Historiker Herodot über die Cheops-Pyramide wird mitunter so interpretiert, dass die Seitenflächenhöhe im Vergleich zur halben Grundkante zum Goldanteil liegt.

Auf der anderen Seite wird auch argumentiert, dass das Seitenverhältnis 2:? {\displaystyle 2:\pi} für die Höhe der Pyramide zur Unterkante die tatsächliche Größe besser widerspiegelt. Zahlreiche Arbeiten der antiken Griechen gelten als Beispiel für die Nutzung des Goldschnittes, wie die Fassade des Parthenontempels auf der zwischen 447-432 v. Chr. unter Perikles gebauten Akademie von Athen.

Eventuelle Exemplare des Goldschnittes sind auch in jüngeren Zeiten zu sehen, wie die Kathedrale von Florenz[* 16], Notre Dame in Paris oder die Pfortenhalle in Lorsch (770 n. Chr.)[* 17]. Selbst in diesen Faellen kann die bewusstere Verwendung des Goldschnittes nicht aus historischer Sicht nachgewiesen werden.

Infolgedessen gibt es keinen empirischen Beweis für eine deutlich höhere Frequenz des Goldverhältnisses in diesen Zeiten im Verhältnis zu anderen Teilverhältnissen. Es gibt auch keine historischen Beweise für die bewusste Anwendung des Goldschnittes. Immer wieder wird das Leipziger Altes Stadthaus, ein Renaissance-Bau aus den Jahren 1556/57, als Beispiel für die Realisierung des Goldschnittes zitiert.

Vor allem gibt es keine Hinweise darauf, dass Hieronymus Lotter als damaliger Bauherr bewußt den Goldschnitt als Bauprinzip nutzte: Er ist nicht in der Lage, den Goldschnitt zu verwenden: Die Tatsache, dass der Goldschnitt hier eine wichtige Funktion hatte, lässt sich aus quellenhistorischer Sicht nicht belegen. Der erste Einsatz des Goldschnittes in der Baukunst geht auf das zwanzigste Jahrtausend zurück:

Ab 1940 entwickelt der Baumeister und Kunstmaler Le Corbusier (1887-1965) ein durchgängiges Messsystem, das auf der Grundlage menschlicher Dimensionen und des Goldverhältnisses arbeitet. 18] Aus den genannten Gründen ist dies jedoch kein Beweis für eine früher erfolgte Nutzung dieses Verfahrens. Der Goldene Schnittverfahren (auch: Goldener Schnitt[51], Goldener Schnittverfahren oder Suchmethode Goldener Schnitt) ist ein mathematisch nichtlineares Optimierungsverfahren, präziser gesagt eine algorithmische Approximation für einen Extrempunkt (Minimum oder Maximum) einer realen Variablenfunktion in einem Suchintervall[a,b]{\displaystyle[a,b]}}.

Anders als bei der Intervall-Halbierung wird das Suchinterval nicht für jeden einzelnen Arbeitsschritt um die Hälfte reduziert, sondern nach dem Goldschnittprinzip. Wenn man davon ausgeht, dass jeder einzelne Knoten in jedem Abstand ein extremer Knoten mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit sein kann, ist die Methode des Goldschnittes um 14 Prozent wirksamer als die Methode der Intervallhalbierung, z.B. bei Unsicherheitsintervallen.

Gegenüber dieser und anderen sequenziellen Methoden ist sie - rechnerisch betrachtet - die wirksamste Methode für generelle Aufgaben; nur bei differenzierbaren Aufgaben ist sie der unmittelbaren Rechenaufgabe untergeordnet. 53 ] Dass sich dieses Vorgehen in der Handberechnung nicht etabliert hat, ist vor allem auf die erforderlichen Wurzelrechnungen für die verschiedenen Zwischenstufen zurückzuführen.

Hans-Walser: Der Goldschnitt, Stuttgart 1993, ISBN 3-8154-2511-5, Marcus Frings: Goldener Abschnitt. Erik W. Weisstein: Goldener Ratio. Edmund F. Robertson, John J. O'Connor: Der Goldverhältnis.

Fünftes Original, F. A. Brockhaus, Leipzig, 1819, S. 296. von John J. O'Connor, Edmund F. Robertson: Der Goldschnitt. Wenn Hippasos die Vernunftlosigkeit auf dem Pentagon (und nicht auf dem Quadrat) entdeckte, wäre er auch der Begründer des Goldverhältnisses. und Kurt von Fritz: Grundlegende Probleme der Geschichte in Berlin 1971, S. 564-569 (plädiert für das Fünfeck); Dirk Stegmann spricht in Der goldene Schnitt aus ( (PDF; 666 kB), S. 10 sehr eindrucksvoll für Hippasos.

Der BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, nach S. 252; Reproduktion des Lateintextes der Hasenaufgabe von Bernd Thaller, Leonardo und dem Goldenen Schnitt mit englischer übersetzung von Roberto Bignoni, The Golden Number - 3 -. La règle - Es verbindet Kunst, Musik und sogar Architektur.

Der Wächter, 1 6. Jänner 2003, zugegriffen am31. Dez. 2013 ? J.A. Nieto: Ein Pfandrecht zwischen den schwarzen Löchern und der Goldnummer. Letzter Zugriff am dritten. Jänner 2012. Mario Livio: Der Goldene Schnitt: Die Geschichte von Phi, der erstaunlichsten Zahl der Welt. Bücher Broadway, 2003, ISBN 978-0-7679-0816-0, S. 177-178. Mario Livio: Der Goldene Schnitt: Die Geschichte von Phi, der erstaunlichsten Zahl der Welt.

Rundfunkbücher, 2003, ISBN 978-0-7679-0816-0, p. 5 Helmut Reis: Der Goldene Schnitt u. seine Bedeutung für die Mundharmonik (= Orpheus series on fundamental questions of music 54).

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